Teorema de Bayes

El teorema de Bayes dentro de la probabilista proporciona la distribución de probabilidad condicional de un evento "A" dado otro evento "B" (probabilidad posterior), en función de la distribución de probabilidad condicional del evento "B" dado "A" y de la distribución de probabilidad marginal del evento "A" (probabilidad simple)

Ejemplo:

Una empresa que fabrica camisetas posee tres máquinas, A, B y C, producen el 

45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en la 

fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 

4% y 5% respectivamente. 

a. Seleccionamos una camiseta al azar; calcular la probabilidad de que salga 

defectuosa. 

b. Tomamos, al azar, una camiseta y resulta ser defectuosa; calcula la 

probabilidad de haber sido producida por la máquina B. 

c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido una 

camiseta defectuosa? 

Solución: 

Sea D= "la camiseta defectuosa" y 

N= "la camiseta no es defectuosa". 

La información del problema puede 

expresarse en el diagrama de árbol 

adjunto. 

 

a. Para calcular la probabilidad de que la camiseta elegida sea 

defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, 

P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) 

 = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038 

b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes, 

 

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya 

calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos: 

Esperanza Matematica

La esperanza matemática de una variable aleatoria  es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso
Formula:

Ejemplo:
4 personas apuestan 1 euro a que saldrá un numero en un dado, cada uno a uno diferente. Entonces por cada euro apostado si se gana recibes 3 euros mas. ¿saldrá a cuenta a apostar en este juego?
Solución:
La probabilidad de perder 1 euro es de 5/6 ya que se pierde si no sale el numero elegido mientras que la probabilidad de ganar es de 1/6.
Así que: (-1 . 5/6)+(3 . 1/6) = -5/6 + 3/5 = -2/6 = -1/3 = -0.33
Por tanto por cada euro apostado perdemos 0.33 centavos por lo que la esperanza matemática es negativa
Ejemplo:
Si una persona compra una pepeleta en una rifa en la que puede ganar de 5000 euros o en un segundo premio de 2000 euros con probabilidades de 0.001 y 0.003 ¿ cual seria el precio justo a pagar por la papeleta?
Solución:
                       x                     p(x)               x.p(x)
                    5000                0.001                 5
                    2000                0.003                 6
                                                                   -----
                                                                     11

Distribucion Hipergeometrica

Se emplea para obtener la probabilidad de obtener determinado numero de éxitos en un espacio muestral de n ensayos. se diferencia de la distribución binomio en que los datos de la muestra se extraen sin remplazo en una población finita. esto quiere decir que el resultado de un experimento depende del resto.
los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen estas características.
1.- Al realizar el experimento solo puede haber dos resultados.
2.- Las probabilidades asociadas a los resultados no son constantes.
3.- cada repetición del ensayo es dependiente de los demás.
4.- El numero de repeticiones del experimento es constante.

Ejemplo:
En un lote de 10 proyectiles se disparan 4 al azar, si el lote contiene 5 proyectiles que no disparan
a) ¿cual es la probabilidad de que los cuatro disparen?
b) cuantos de los cuatro se esperan que disparen?
 N=10
m=5
n=4
k=¿?

sustituyendo los valores en la formula el primer resultado da 0.0238
mientras que en el segundo nos resulta 2

Distribución Binomial

Este tipo de distribución presenta las siguientes características:
a) En cada "experimento" nada mas serán posible dos resultados: verdadero y falso, defectuoso o no defectuoso, pasa o no pasa, denominados arbitrariamente  éxito (si ocurre) o fracaso (si es lo contrario)
b) Las probabilidades asociadas a cada resultado son constantes o sea que no cambian.
c) cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre si.
d) el numero de repeticiones de cada experimento es constante

Ejemplo:
la ultima novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto que el 80% de los lectores ya  la han leído. el escritor tiene 4 amigos fanáticos de la lectura. con estos datos calcula lo siguiente
1.- ¿cual es la probabilidad de que 2 de sus amigos ya hayan leído el libro?
solución:
B(4, 0.2)   p=0.8  q=0.2
p(x=2)=(4/2) 0.8^2 0.2^2= 4.3/2.0.64.0.04=0.1536

2.- y que lo hayan leído como máximo 2
p(x<o=2)=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)=
=(4/0).0.8^0.0.2^4+(4/1).0.8^1.0.2^3+(4/2).0.8^2.0.2^2= 0.1808

Distribución de Probabilidad de Variables Aleatorias Discretas

Antes que nada se tiene que empezar por definir que es una variable.

Una variable en términos de las matemáticas suele referirse como un numero x  que puede tomar un valor cualquiera durante una operación.

una variable aleatoria Es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio 

muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra. 

variable aleatoria discreta proporciona datos que son llamados cuantitativos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo

Ahora bien una distribución de probabilidades para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente de todos los resultados numéricos posibles para esa variable aleatoria tal que una probabilidad específica de ocurrencia se asocia con cada resultado. El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de todos los posibles resultados, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados.

Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable discreta de interés.

P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de X

La varianza de una variable aleatoria discreta (s 2) se define como el promedio ponderado de los cuadros de las diferencias entre cada resultado posible y su media (los pesos son las probabilidades de los resultados posibles).

Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable discreta de interés.

P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de X

EJEMPLO:
Queremos conocer el numero de caras que pueden resultar al lanzar una moneda 3 veces al aire. ¿Cual es la distribución de la probabilidad del numero de caras?
Solución:
Hay 8 posible resultados 
                                                                            cara
                                                                          /
                                                                        /
                                                               cara
                                                             /           \
                                                           /               \
                                                         /                   cruz
                                                       /
                                             cara
                                                       \
                                                        \                   cara
                                                          \               /   
                                                            \           /
                                                               cruz
                                                                        \
                                                                          \
                                                                              cruz
           
         
                                                                            cara
                                                                          /
                                                                        /
                                                               cara
                                                             /           \
                                                           /               \
                                                         /                   cruz
                                                       /
                                              cruz
                                                       \
                                                        \                   cara
                                                          \               /   
                                                            \           /
                                                               cruz
                                                                         \
                                                                           \
                                                                             cruz

numero de caras (x)    Probabilidad de Resultado (Px)  
0                                                  1/8=0.125
1                                                  3/8=0.375
2                                                  3/8=0.375
3                                                  1/8=0.125

                                                   -------
total:                                            8/8=1.00